حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 9 y = 8$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 9 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{9 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{9 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{9 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + e^{9 x} (9 y) = e^{9 x} \cdot 8$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = e^{9 x} \cdot 8$

خطوة 2.3

انقُل $8$ إلى يسار $e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = 8 \cdot e^{9 x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 e^{9 x} y = 8 e^{9 x}$ .

$e^{9 x} \frac{d y}{d x} + 9 y e^{9 x} = 8 e^{9 x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{9 x} y] = 8 e^{9 x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{9 x} y] d x = \int 8 e^{9 x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{9 x} y = \int 8 e^{9 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$e^{9 x} y = 8 \int e^{9 x} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 9 x$ . إذن $d u = 9 d x$ ، لذا $\frac{1}{9} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 9 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $9 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $9$ في $1$ .

$9$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{9 x} y = 8 \int e^{u} \frac{1}{9} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{9}$ .

$e^{9 x} y = 8 \int \frac{e^{u}}{9} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$e^{9 x} y = 8 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{9}$ و $8$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x$ .

$e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$ على $e^{9 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{9 x} y = \frac{8}{9} e^{9 x} + C$ على $e^{9 x}$ .

$\frac{e^{9 x} y}{e^{9 x}} = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{9 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{9 x} y}{e^{9 x}} = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{9 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{9 x}}{e^{9 x}} + \frac{C}{e^{9 x}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $\frac{8}{9}$ على $1$ .

$y = \frac{8}{9} + \frac{C}{e^{9 x}}$