حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $3$ عن $x$ وبـ $7$ عن $y$ في $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

خطوة 4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

خطوة 4.2.2

اطرح $3$ من $9$ .

$6 + K = 7$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$K = 7 - 6$

خطوة 4.3.2

اطرح $6$ من $7$ .

$K = 1$

خطوة 5

عوّض بـ $1$ عن $K$ في $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$