حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $\frac{1}{π}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

اجمع $\frac{3}{2 π}$ و $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

خطوة 2.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

اجمع $\cos (π x)$ و $\frac{3}{2 π}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (π x)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

خطوة 3.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

خطوة 3.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

خطوة 3.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$