حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $2 y d x$ من كلا المتعادلين.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $e^{- 3 x}$ من $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

خطوة 3.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

خطوة 3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 4.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

خطوة 4.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

خطوة 4.3.3.2

اعكِس علامة أُس $e^{- 3 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

اضرب الأُسس في ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

خطوة 4.3.3.3.2

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 4.3.4.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 4.3.4.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 4.3.5

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 4.3.6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

خطوة 4.3.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 4.3.9

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

خطوة 4.3.10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اجمع $e^{3 x}$ و $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

خطوة 5.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

خطوة 5.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

خطوة 6.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$