حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{9 y - 8}$ .

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9 y - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 x - 7}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{9 y - 8} d y = \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{9 y - 8} d y = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 9 y - 8$ . إذن $d u_{1} = 9 d y$ ، لذا $\frac{1}{9} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 9 y - 8$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $9 y - 8$ .

$\frac{d}{d y} [9 y - 8]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 y - 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ .

$\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [9 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $9 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $9 \frac{d}{d y} [y]$ .

$9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $9$ في $1$ .

$9 + \frac{d}{d y} [- 8]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$9 + 0$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أضف $9$ و $0$ .

$9$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $9$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{9 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{9} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{9} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $9 y - 8$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 8 x - 7$ . إذن $d u_{2} = 8 d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 8 x - 7$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $8 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 7]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $8$ في $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 7]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $8$ و $0$ .

$8$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $8$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 x - 7$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |)) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $\ln (| 9 y - 8 |)$ .

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و $\ln (| 8 x - 7 |)$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C \cdot \frac{8}{8})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{8}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + \frac{C \cdot 8}{8})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + C \cdot 8}{8}$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $8$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$

خطوة 3.2.2.1.5

اجمع $9$ و $\frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$ .

$\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 9 y - 8 |)} = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} = | 9 y - 8 |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$ .

$| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$9 y - 8 = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

خطوة 3.5.3

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ على $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8}{9}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + C)}{8}} + 8}{9}$