حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $x y^{3}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{y^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 y^{2}, 2, 1$

خطوة 3.2.2

بما أن $2 y^{2}, 2, 1$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $2, 2, 1$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{2}$ .

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.2.4

بما أن $2$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $2$ .

$2$ هي عدد أولي

خطوة 3.2.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2, 2, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2$

خطوة 3.2.7

عوامل $y^{2}$ هي $y \cdot y$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $y$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$y^{2} = y \cdot y$

تحدث $y$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 3.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y \cdot y$

خطوة 3.2.9

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2}$

خطوة 3.2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $2 y^{2}, 2, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $2$ في الجزء المتغير.

$2 y^{2}$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ في $2 y^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ في $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 y^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

خطوة 3.3.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل $y^{2}$ من $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

خطوة 3.4.2.3

أخرِج العامل $y^{2}$ من $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

خطوة 3.4.3

اقسِم كل حد في $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ على $x^{2} + 2 K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اقسِم كل حد في $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ على $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 3.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

خطوة 5

بما أن $y$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(2, 4)$ ، انظر فقط $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $2$ عن $x$ وبـ $4$ عن $y$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ .

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

خطوة 6.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

خطوة 6.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ في صورة ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

بسّط.

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$4 + K, 1$

خطوة 6.4.1.2

احذِف الأقواس.

$4 + K, 1$

خطوة 6.4.1.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$4 + K$

خطوة 6.4.2

اضرب كل حد في $- \frac{1}{4 + K} = 16$ في $4 + K$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{4 + K} = 16$ في $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4 + K}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

خطوة 6.4.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

خطوة 6.4.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 = 16 (4 + K)$

خطوة 6.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

خطوة 6.4.2.3.2

اضرب $16$ في $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

خطوة 6.4.3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $64 + 16 K = - 1$ .

$64 + 16 K = - 1$

خطوة 6.4.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.2.1

اطرح $64$ من كلا المتعادلين.

$16 K = - 1 - 64$

خطوة 6.4.3.2.2

اطرح $64$ من $- 1$ .

$16 K = - 65$

خطوة 6.4.3.3

اقسِم كل حد في $16 K = - 65$ على $16$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.1

اقسِم كل حد في $16 K = - 65$ على $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

خطوة 6.4.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

خطوة 6.4.3.3.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

خطوة 6.4.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{65}{16}$

خطوة 7

عوّض بـ $- \frac{65}{16}$ عن $K$ في $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{65}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

خطوة 7.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

لكتابة $x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

خطوة 7.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

خطوة 7.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

خطوة 7.2.4

انقُل $16$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

خطوة 7.4

اضرب $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ في $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$