حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.3.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $y$ من $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 1.6

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{- 2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{2 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.2.5.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

خطوة 3.3

اجمع.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

خطوة 3.4.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

خطوة 3.5

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

خطوة 7.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

خطوة 7.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

خطوة 7.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

خطوة 7.4.1.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

خطوة 7.4.2

بسّط.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

خطوة 7.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

خطوة 7.4.3.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

خطوة 7.4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

خطوة 7.4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

خطوة 7.4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

خطوة 7.4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

خطوة 7.4.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أضف $\frac{2}{x^{3}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

خطوة 8.1.2

اطرح $C$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

خطوة 8.1.3

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

خطوة 8.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $\frac{2}{x^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

خطوة 8.2.2

أضف $C$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{x^{3}}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

خطوة 8.4.2.1.3.2

أعِد ترتيب $- \frac{2}{x}$ و $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$