حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط $x (1 + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{d y}{d x} - x y = 0 + 0 + x (1 + y)$

خطوة 1.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} - x y = x \cdot 1 + x y$

خطوة 1.1.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x y = x + x y$

خطوة 1.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أضف $x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = x + x y + x y$

خطوة 1.1.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 x y$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $x$ من $x + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + 2 x y$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + 2 x y$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (2 y)$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + 2 y)$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{1 + 2 y}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} (x (1 + 2 y))$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $1 + 2 y$ من $x (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

خطوة 1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

خطوة 1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = 1 + 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = 1 + 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 2.2.1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 2.2.1.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int x d x$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

خطوة 3.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + 2 y |$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 3.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

خطوة 3.5.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

خطوة 3.5.4

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}{2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 1}{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $e^{x^{2} + C}$ بالصيغة $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}{2}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب $e^{x^{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}{2}$

خطوة 4.4

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 1}{2}$