حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

خطوة 1.3.2

اجمع $7$ و $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

خطوة 1.3.3

اجمع $x$ و $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

خطوة 1.3.4

اجمع.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

خطوة 1.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln^{8} (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

خطوة 1.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

خطوة 1.3.6.2

اقسِم $7 (x)$ على $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = \ln (y)$ . إذن $d u = \frac{1}{y} d y$ ، لذا $y d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = \ln (y)$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

خطوة 2.2.1.1.2

مشتق $\ln (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{8}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{7}{2}$ و $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $9$ و $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $7$ في $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

خطوة 3.3.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

خطوة 3.3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

خطوة 3.3.4.2

بسّط $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

أخرِج العامل $9$ من $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1.1

أخرِج العامل $9$ من $\frac{63 x^{2}}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

خطوة 3.3.4.2.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

خطوة 3.3.4.2.1.3

أخرِج العامل $9$ من $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

خطوة 3.3.4.2.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

خطوة 3.3.4.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.3.1

اجمع $K$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

خطوة 3.3.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

خطوة 3.3.4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

خطوة 3.3.4.2.5

اجمع $9$ و $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

خطوة 3.3.4.2.6

أعِد كتابة $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ .

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$