حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

خطوة 1

أضف $x y$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int x d x}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = \frac{x^{2}}{2}$ . إذن $d u = x d x$ ، لذا $\frac{1}{x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

افترض أن $u = \frac{x^{2}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

خطوة 7.1.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 7.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 7.1.1.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

خطوة 7.1.1.4.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

خطوة 7.1.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2}$

خطوة 7.1.1.4.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x$

خطوة 7.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

خطوة 7.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2 u}}^{2}$ بالصيغة $2 u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 u}$ في صورة ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

خطوة 7.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

خطوة 7.2.5

بسّط.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

خطوة 7.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

خطوة 7.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 7.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 7.6

بسّط.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

خطوة 7.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

خطوة 7.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

خطوة 7.8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

خطوة 7.8.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

خطوة 7.9

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ على $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ على $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ و $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ من $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ على $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.2.3

اطرح $1$ من $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.7

احذِف العامل المشترك لـ $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ و $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.7.1

أخرِج العامل $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ من $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.7.2.1

اضرب في $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.7.2.4

اقسِم $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ على $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.8.3

اطرح $1$ من $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.9

اضرب $x^{2}$ في $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.10

اقسِم $0$ على $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.11

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

خطوة 8.3.1.12

اضرب $- 2$ في $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$