حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{y^{2} - 1}{x} = 0$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط $\frac{d y}{d x} - \frac{y^{2} - 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{y^{2} - 1^{2}}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{(y + 1) (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.2

لكتابة $\frac{d y}{d x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{(y + 1) (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - (y + 1) (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + (- y - 1 \cdot 1) (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + (- y - 1) (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.3

وسّع $(- y - 1) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y (y - 1) - 1 (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1.1.1

انقُل $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.1.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} - y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.1.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.1.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + y - 1 y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + y - y - 1 \cdot - 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + y - y + 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.2

اطرح $y$ من $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + 0 + 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.1.4.4.3

أضف $- y^{2}$ و $0$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - y^{2} + 1}{x} = 0$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$\frac{d y}{d x} x - y^{2} + 1 = 0$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $\frac{d y}{d x}$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d y}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

أضف $y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} x + 1 = y^{2}$

خطوة 1.1.3.1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} x = y^{2} - 1$

خطوة 1.1.3.2

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} x = y^{2} - 1$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اقسِم كل حد في $\frac{d y}{d x} x = y^{2} - 1$ على $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.1.3.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

خطوة 1.1.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{1}{x}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{x}$

خطوة 1.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{x}$

خطوة 1.2.2.2

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 1) (y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

خطوة 2.2.1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.3

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.1.2

اقسِم $(A) (y - 1)$ على $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.4

أعِد كتابة $- 1 A$ بالصيغة $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.6.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.1.6.5.2

اقسِم $(B) (y + 1)$ على $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

خطوة 2.2.1.1.6.6

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

خطوة 2.2.1.1.6.7

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

خطوة 2.2.1.1.7

انقُل $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

خطوة 2.2.1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $y$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2.1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $y$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.1.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.1.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

خطوة 2.2.1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 1 A + B$ بـ $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1

بسّط $- 1 (- B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.1

اضرب $- 1 (- B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.1.2

اضرب $B$ في $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.2.2.1.2

أضف $B$ و $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 B = 1$ على $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

خطوة 2.2.1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{1}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.1.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

خطوة 2.2.1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.5.2

اضرب $\frac{1}{y + 1}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.5.3

انقُل $2$ إلى يسار $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

خطوة 2.2.1.5.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.5

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.8

لنفترض أن $u_{2} = y - 1$ . إذن $d u_{2} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1

افترض أن $u_{2} = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.8.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 2.2.8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 2.2.8.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.9

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.10

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2.11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

اجمع $\ln (| y + 1 |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 3.1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

خطوة 3.2

اضرب كل حد في $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب كل حد في $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ في $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

انقُل $2$ إلى يسار $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

خطوة 3.2.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

خطوة 3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

خطوة 3.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

خطوة 3.7.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

وسّع $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ بنقل $2 C + \ln (| y + 1 |)$ خارج اللوغاريتم.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

خطوة 3.7.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

خطوة 3.7.2.3

اضرب $2 C + \ln (| y + 1 |)$ في $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

خطوة 3.7.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

خطوة 3.7.4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

خطوة 3.7.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

خطوة 3.7.6

اجمع $| y + 1 |$ و $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

خطوة 3.7.7

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

خطوة 3.7.8

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.9

أعِد كتابة $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

خطوة 3.7.10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.2

اضرب كلا الطرفين في $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

خطوة 3.7.10.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| y - 1 |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

خطوة 3.7.10.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

خطوة 3.7.10.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ .

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

خطوة 3.7.10.4.2

اقسِم كل حد في $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ على $e^{- 2 C}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.2.1

اقسِم كل حد في $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ على $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

خطوة 3.7.10.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

خطوة 3.7.10.4.2.2.1.2

اقسِم $| y - 1 |$ على $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

خطوة 3.7.10.4.3

أعِد كتابة معادلة القيمة المطلقة في صورة أربع معادلات بدون أشرطة القيمة المطلقة.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

خطوة 3.7.10.4.4

بعد التبسيط، ستجد معادلتين فريدتين فقط يتعين حلهما.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

خطوة 3.7.10.4.5

أوجِد قيمة $y$ في $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.1.1

بسّط $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1 e^{- 2 C}$ بالصيغة $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1

بسّط $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

خطوة 3.7.10.4.5.2.2.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

خطوة 3.7.10.4.5.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.1

اطرح $x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.2

أضف $e^{- 2 C}$ إلى كلا المتعادلين.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ .

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.4

أعِد كتابة $e^{- 2 C}$ بالصيغة ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = e^{- C}$ و $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.6

اقسِم كل حد في $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ على $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.1

اقسِم كل حد في $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ على $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- C} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- C} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

خطوة 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

خطوة 3.7.10.4.6

أوجِد قيمة $y$ في $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.1

اضرب كلا الطرفين في $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.1.1

بسّط $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1 e^{- 2 C}$ بالصيغة $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1

بسّط $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 C}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ إلى بسط الكسر.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

خطوة 3.7.10.4.6.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

خطوة 3.7.10.4.6.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.1

أضف $x^{2} y$ إلى كلا المتعادلين.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.2

أضف $e^{- 2 C}$ إلى كلا المتعادلين.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ .

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4

اقسِم كل حد في $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ على $e^{- 2 C} + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.1

اقسِم كل حد في $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ على $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

أعِد كتابة $e^{- 2 C}$ بالصيغة ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 3.7.10.4.7

اسرِد جميع الحلول.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$