حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ من كلا المتعادلين.

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2.4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2.5

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.2.6

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

خطوة 4.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \arcsin (x)$ و $d v = 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

خطوة 4.3.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

خطوة 4.3.4

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 4.3.4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.3.4.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.3.4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3.4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 4.3.4.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 4.3.4.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

خطوة 4.3.5.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

خطوة 4.3.5.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 4.3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 4.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

خطوة 4.3.8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 4.3.9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

خطوة 4.3.9.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

خطوة 4.3.9.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.9.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

خطوة 4.3.9.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

خطوة 4.3.9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 4.3.10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

خطوة 4.3.11

أعِد كتابة $- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ بالصيغة $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

خطوة 4.3.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

خطوة 4.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 4.3.13.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$