حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 5 x y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x y$ من $4 x^{2} y - 5 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x y$ من $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) - 5 x y$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x y$ من $- 5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) + x y (- 5)$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x y$ من $x y (4 x) + x y (- 5)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x - 5)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (4 x - 5))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x y (4 x - 5)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x - 5)$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x) + x \cdot - 5$

خطوة 1.3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x + x \cdot - 5$

خطوة 1.3.4

انقُل $- 5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x - 5 \cdot x$

خطوة 1.3.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

انقُل $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x) - 5 \cdot x$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 x$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 5 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 5 x d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 5 x d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int x d x$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

خطوة 3.3.2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{5}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} + C}$

خطوة 3.3.2.3

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$