حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- 2 x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 3 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{3 x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{3 x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} e^{- 2 x}$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} e^{- 2 x}$

خطوة 2.3

اضرب $e^{3 x}$ في $e^{- 2 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x - 2 x}$

خطوة 2.3.2

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = e^{x}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = e^{x}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{3 x} y = \int e^{x} d x$

خطوة 6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = e^{x} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = e^{x} + C$ على $e^{3 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{3 x} y = e^{x} + C$ على $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

خطوة 7.3.1.2.4

اقسِم $e^{- 2 x}$ على $1$ .

$y = e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$