حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $\frac{1}{6}$ في $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $\frac{1}{7}$ في $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

خطوة 4.2.2

لكتابة $\frac{1}{6}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

خطوة 4.2.3

لكتابة $\frac{1}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

خطوة 4.2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $42$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

خطوة 4.2.4.2

اضرب $6$ في $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

خطوة 4.2.4.3

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

خطوة 4.2.4.4

اضرب $7$ في $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

خطوة 4.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

خطوة 4.2.6

أضف $7$ و $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{13}{42}$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

خطوة 4.3.3

اجمع $2$ و $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $2$ في $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $13$ من $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{71}{42}$ عن $K$ في $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{71}{42}$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{7}$ و $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$