حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

خطوة 1.3.8

اضرب $1 + x y$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

خطوة 1.4

أضف $y x$ و $x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

خطوة 1.4.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y + 1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$2 x y + 1 = - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $2 x y + 1$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (1 + x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (1 + x y)$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - (2 x y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أعِد ترتيب $- 1$ و $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.2.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x y + 1$ و $1 + x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

خطوة 4.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.4

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y (1 + x y)$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y (1 + x y) d x - x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y (1 + x y)$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $1 + x y$ في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

خطوة 6.4

اضرب $- x$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{y^{2}}$ و $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

خطوة 8.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

خطوة 8.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

خطوة 8.4

انقُل $y^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

خطوة 8.5

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

خطوة 8.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

خطوة 8.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

خطوة 8.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

أعِد كتابة $- x (- y^{- 1} + C)$ بالصيغة $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

خطوة 8.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

خطوة 8.7.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

خطوة 8.7.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $\frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.3.3

اضرب $\frac{1}{y}$ في $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 11.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

اطرح $\frac{1 + x y}{y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.4

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.5

اطرح $x y$ من $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

خطوة 12.1.1.6.2

اقسِم $- x$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

خطوة 12.1.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 13.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 15

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$