حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + x}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = y + 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 1 + x$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 + x$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| 1 + x |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| 1 + x |) = C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$

خطوة 3.5.2

اضرب كلا الطرفين في $| 1 + x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 1 + x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 3.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| y + 1 | = e^{C} | 1 + x |$

خطوة 3.5.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{C} | 1 + x |$ .

$| y + 1 | = | 1 + x | e^{C}$

خطوة 3.5.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | 1 + x | e^{C}$

خطوة 3.5.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | 1 + x | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | 1 + x |$

خطوة 3.5.4.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{C} | 1 + x | - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm C | 1 + x | - 1$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C | 1 + x | - 1$