حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{5} + 3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

قسّم الكسر $\frac{x^{5} + 3 y}{x}$ إلى كسرين.

$\frac{x^{5}}{x} + \frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

خطوة 1.1.2

اطرح $\frac{x^{5}}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{x}$

خطوة 1.1.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{x}$ .

$- \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$

خطوة 1.4

اقسِم كل حد في $- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x}}{- 1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

خطوة 1.5

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

خطوة 1.6

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

خطوة 1.7

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\frac{3}{x} y}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

خطوة 1.8

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x}}{- 1}$

خطوة 1.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}}}{- 1}$

خطوة 1.8.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

خطوة 1.8.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

خطوة 1.8.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{4}}{1}}{- 1}$

خطوة 1.8.2.5

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- x^{4}}{- 1}$

خطوة 1.9

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{x^{4}}{1}$

خطوة 1.10

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = x^{4}$

خطوة 1.11

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3 y}{x} = x^{4}$

خطوة 1.12

أخرِج العامل $y$ من $- 1 \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cdot \frac{3}{x}) = x^{4}$

خطوة 1.13

أعِد ترتيب $y$ و $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3}{x} y = x^{4}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 \cdot \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- 3 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 3}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{3}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.4

اضرب $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $\frac{3 y}{x}$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.4.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.2.4.2.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $y$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 8.3

اضرب كلا الطرفين في $x^{3}$ .

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

خطوة 8.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

خطوة 8.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

بسّط $(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2

اضرب $\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

خطوة 8.4.2.1.2.2.2

أضف $2$ و $3$ .

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$