حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

خطوة 1

لنفترض أن $v = e^{x - y}$ . استبدِل $v$ بجميع حالات حدوث $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d v}{d x}$ بإيجاد مشتقة $e^{x - y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

خطوة 3

عوّض بقيمة $e^{x - y}$ التي تساوي $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

خطوة 4

عوّض بالمشتق مجددًا في المعادلة التفاضلية.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

خطوة 5

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ في $- v$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ في $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.1.2

أخرِج العامل $v$ من $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $- v$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

خطوة 5.3.2

اضرب $v$ في $v$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

انقُل $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $v$ في $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

خطوة 6

لحل المعادلة التفاضلية، افترض أن $v = y^{1 - n}$ حيث $n$ هو أُس $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $v$ في المعادلة.

$y = v^{- 1}$

خطوة 8

خُذ مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ .

$y' = v^{- 1}$

خطوة 9

خُذ مشتق $v^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ مشتق $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

خطوة 9.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

خطوة 9.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.4.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1

اضرب $v$ في $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.4.3.2

اطرح $\frac{d}{d x} [v]$ من $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

خطوة 9.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [v]$ بالصيغة $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

خطوة 10

عوّض بـ $- \frac{v'}{v^{2}}$ عن $\frac{d v}{d x}$ وبـ $v^{- 1}$ عن $v$ في المعادلة الأصلية $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

خطوة 11

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب كل حد في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ في $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $v^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $v^{2}$ من $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.3

اضرب $\frac{d v}{d x}$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.5

اضرب $v^{- 1}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.2.1.5.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.5.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.6

بسّط $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.7

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.2.1.8

اضرب $v$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

اضرب الأُسس في ${(v^{- 1})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

خطوة 11.1.3.2

اضرب $v^{- 2}$ في $v^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.2.1

انقُل $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

خطوة 11.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

خطوة 11.1.3.2.3

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

خطوة 11.1.3.3

بسّط $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

خطوة 11.1.3.4

اضرب $- x \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

خطوة 11.1.3.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

خطوة 11.2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 11.2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 11.2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 11.3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

خطوة 11.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

خطوة 11.4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

خطوة 11.5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

خطوة 11.6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

خطوة 11.7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

خطوة 11.7.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

خطوة 11.7.3

بسّط.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

خطوة 11.8

اقسِم كل حد في $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.1

اقسِم كل حد في $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.3.1.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 11.8.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 12

عوّض بقيمة $v$ التي تساوي $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 14

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

خطوة 14.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

وسّع $\ln (e^{- x + y})$ بنقل $- x + y$ خارج اللوغاريتم.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

خطوة 14.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

خطوة 14.2.3

اضرب $- x + y$ في $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

خطوة 14.3

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$