حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y = (x^{5} + 3 y) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(x^{5} + 3 y) d x$ من كلا المتعادلين.

$x d y - (x^{5} + 3 y) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (x^{5} + 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{5} + 3 y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (x^{5} + 3 y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} + 3 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y])$

خطوة 2.4

بما أن $x^{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{5}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [3 y])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [3 y]$

خطوة 2.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 2.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \cdot 1$

خطوة 2.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 3 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 3$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 3 - 1}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{- 3 - 1}{x}$

خطوة 5.3.2

اطرح $1$ من $- 3$ .

$\frac{- 4}{x}$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

خطوة 6.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 4 \ln (| x |)$ بنقل $- 4$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

خطوة 6.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{- 4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

خطوة 6.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- (x^{5} + 3 y)$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- (x^{5} + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- x^{5} - (3 y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$(- x^{5} - 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.4

اضرب $- x^{5} - 3 y$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{5} - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{5}$ .

$\frac{- (x^{5}) - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$\frac{- (x^{5}) - (3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{5}) - (3 y)$ .

$\frac{- (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.8

أعِد كتابة $- (x^{5} + 3 y)$ بالصيغة $- 1 (x^{5} + 3 y)$ .

$\frac{- 1 (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.10

اضرب $x$ في $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

خطوة 7.11

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

خطوة 7.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

خطوة 7.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{3}} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{1}{x^{3}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}} + g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y}{x^{3}} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5.2.3

اجمع $y$ و $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5.2.4

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$- \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 12.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أضف $\frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y + x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 3 y + x^{5} + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.1

أضف $- 3 y$ و $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5} + 0}{x^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.3.2

أضف $x^{5}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5}}{x^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{1} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2.4

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x = 0$

خطوة 13.1.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = - x$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

خطوة 14.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x d x$

خطوة 14.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 14.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 16

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + C$