حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x + x f^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 4 + x (f^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

خطوة 1.1.4

اضرب $x$ في $4 + f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $f$ من $f - x^{2} f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ارفع $f$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $f$ من $f^{1}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $f$ من $- x^{2} f$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

خطوة 1.2.1.4

أخرِج العامل $f$ من $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

خطوة 1.2.1.5

اضرب $f$ في $1 - x^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

خطوة 1.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

خطوة 1.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{f}{4 + f^{2}}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ في $\frac{4 + f^{2}}{f}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $f$ من $(1 + x) (1 - x) f$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4 + f^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $4 + f^{2}$ من $x (4 + f^{2})$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 4 + f^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 f d f$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 4 + f^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d f}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + f^{2}$ .

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + f^{2}$ بالنسبة إلى $f$ هو $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ .

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $f$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $f$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ هو $n f^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 f$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 f$ .

$2 f$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 + f^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

خطوة 2.3.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + x$ و $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.6.3

أعِد كتابة $- 1 (1 + x)$ بالصيغة $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 2.3.1.1.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.1.1.3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.1.1.3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.3.11

اضرب $1 - x$ في $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

خطوة 2.3.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

خطوة 2.3.1.1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

خطوة 2.3.1.1.4.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$- x + 0 - x$

خطوة 2.3.1.1.4.2.3

أضف $- x$ و $0$ .

$- x - x$

خطوة 2.3.1.1.4.2.4

اطرح $x$ من $- x$ .

$- 2 x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 2.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 4 + f^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

وسّع $(1 + x) (1 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.2

اضرب $- x$ في $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.5.1

انقُل $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اجمع $\ln (| 1 - x^{2} |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

خطوة 3.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

خطوة 3.5

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.6

وسّع $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.7.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.7.3

اضرب $f^{2}$ في $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

خطوة 3.7.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

خطوة 3.8

لإيجاد قيمة $f$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

خطوة 3.10

أوجِد قيمة $f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

خطوة 3.10.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

خطوة 3.10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $f$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

خطوة 3.10.3.2

أضف $4 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.4

أخرِج العامل $f^{2}$ من $f^{2} - f^{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.4.1

اضرب في $1$ .

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.4.2

أخرِج العامل $f^{2}$ من $- f^{2} x^{2}$ .

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.4.3

أخرِج العامل $f^{2}$ من $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ .

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.6.1

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

خطوة 3.10.7

اقسِم كل حد في $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ على $(1 + x) (1 - x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.1

اقسِم كل حد في $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ على $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.7.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.7.2.2.2

اقسِم $f^{2}$ على $1$ .

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.8

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9

بسّط $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.4

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.9.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ في $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.5.2

ارفع $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ إلى القوة $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

خطوة 3.10.9.5.3

ارفع $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ إلى القوة $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

خطوة 3.10.9.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.10.9.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

خطوة 3.10.9.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ بالصيغة $(1 + x) (1 - x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.9.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ في صورة ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.10.9.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.10.9.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.10.9.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.9.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.10.9.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

خطوة 3.10.9.5.6.5

بسّط.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 3.10.9.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$