حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

خطوة 1.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

خطوة 1.3

لنفترض أن $u_{1} = 3 t$ . إذن $d u_{1} = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

افترض أن $u_{1} = 3 t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أوجِد مشتقة $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 1.3.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

خطوة 1.4

اجمع $\sin (u_{1})$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

خطوة 1.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

خطوة 1.6

تكامل $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

خطوة 1.7

لنفترض أن $u_{2} = 3 t$ . إذن $d u_{2} = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

افترض أن $u_{2} = 3 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أوجِد مشتقة $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 1.7.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 1.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 1.8

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 1.9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 1.10

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

خطوة 1.11

بسّط.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

خطوة 1.12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

خطوة 1.12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

خطوة 1.13

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.2

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- \frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.3

لنفترض أن $u_{3} = 3 t$ . إذن $d u_{3} = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

افترض أن $u_{3} = 3 t$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 3.3.3.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.4

اجمع $\cos (u_{3})$ و $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.5

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $3$ في $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.7

تكامل $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.9

لنفترض أن $u_{4} = 3 t$ . إذن $d u_{4} = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{4}$ و $d$ $u_{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1

افترض أن $u_{4} = 3 t$ . أوجِد $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1.1

أوجِد مشتقة $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 3.3.9.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.3.9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 3.3.9.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3.3.9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{4}$ و $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.10

اجمع $\sin (u_{4})$ و $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.11

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{4}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.12.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.12.2

اضرب $3$ في $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.13

تكامل $\sin (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ هو $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

خطوة 3.3.14

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

خطوة 3.3.15

بسّط.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

خطوة 3.3.16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

خطوة 3.3.16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

خطوة 3.3.17

أعِد ترتيب الحدود.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$