حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $(x - y) d x$ من كلا المتعادلين.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

خطوة 1.2

أعِد الكتابة.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = - (x - y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (x - y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.4

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.7.2

اضرب $\frac{d}{d y} [y]$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.4

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

خطوة 3.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$1 = 1$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = - (x - y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

خطوة 6.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

خطوة 6.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

خطوة 6.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

خطوة 6.6

بسّط.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

خطوة 9.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} - y x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.3

بما أن $\frac{x^{2}}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.4

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.7

اطرح $x$ من $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.3.9

اضرب $x$ في $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

خطوة 9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

خطوة 10.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

خطوة 10.1.2.2

أضف $y$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $y$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

خطوة 11.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.3

اضرب $- (- y x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.3.2

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 13.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$