حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{3}$ , $y (0) = 9$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 5 x^{3} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 5 x^{3} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 5 x^{3} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 5 \int x^{3} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ بالصيغة $5 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{4} x^{4} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{5}{4} x^{4} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $9$ عن $y$ في $y = \frac{5}{4} x^{4} + K$ .

$9 = \frac{5}{4} \cdot 0^{4} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{5}{4} \cdot 0^{4} + K = 9$ .

$\frac{5}{4} \cdot 0^{4} + K = 9$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{5}{4} \cdot 0^{4} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{5}{4} \cdot 0 + K = 9$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $\frac{5}{4}$ في $0$ .

$0 + K = 9$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 9$

خطوة 5

عوّض بـ $9$ عن $K$ في $y = \frac{5}{4} x^{4} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $9$ .

$y = \frac{5}{4} x^{4} + 9$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{5}{4}$ و $x^{4}$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{4} + 9$