حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 8 x$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 5 x d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$e^{5 \int x d x}$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أعِد كتابة $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

خطوة 1.2.3.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

خطوة 1.4

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (8 x)$

خطوة 2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 8 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . إذن $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

خطوة 6.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

خطوة 6.2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

خطوة 6.2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.1

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 6.2.1.3.2

اجمع $\frac{5}{2}$ و $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6.2.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

خطوة 6.2.1.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

خطوة 6.2.1.3.4.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

خطوة 6.2.1.3.4.3

اجمع $\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ و $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

خطوة 6.2.1.3.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

خطوة 6.2.1.3.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.3.4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

خطوة 6.2.1.3.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.1.3.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

خطوة 6.2.1.3.4.4.2.4

اقسِم $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ على $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

خطوة 6.2.1.3.4.5

أعِد ترتيب العوامل في $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

خطوة 6.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ بالصيغة $8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

خطوة 6.4.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} u_{2} + C$

خطوة 6.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

خطوة 6.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ على $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ على $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ و $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.1

أخرِج العامل $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ من $\frac{8}{5} e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.1.2.4

اقسِم $\frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ على $1$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 5 x^{2}$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2.3

اطرح $5$ من $5$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $0$ .

$y = \frac{8}{5} e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$y = \frac{8}{5} e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = \frac{8}{5} \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

خطوة 7.3.1.6

اضرب $\frac{8}{5}$ في $1$ .

$y = \frac{8}{5} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$