حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 5 d t}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{5 t + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{5 t}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{5 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

خطوة 2.3

انقُل $10$ إلى يسار $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

خطوة 6.2

لنفترض أن $u = 5 t$ . إذن $d u = 5 d t$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

افترض أن $u = 5 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

خطوة 6.2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 6.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

خطوة 6.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

خطوة 6.4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

خطوة 6.5.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

خطوة 6.6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

خطوة 6.7

بسّط.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

خطوة 6.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ على $e^{5 t}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ على $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{5 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $I$ على $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{5 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

خطوة 7.3.1.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$