حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $\sin (x) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

خطوة 1.4

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

خطوة 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ هو تكامل خاص. التكامل هو دالة تكامل فريسنل.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = 5 S x + C$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = 5 S x + C$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

افصِل الكسور.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

خطوة 6.3.1.3

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$