حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

خطوة 1

اكتب المسألة في صورة عبارة رياضية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{3 y^{2}}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y^{2} d y = \frac{8 x}{3} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x}{3} d x$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x}{3} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{8}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{8}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x d x$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 3.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اضرب $\frac{8}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{6} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.3.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{2} + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{4}{3} x^{2} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط $3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{4 x^{2}}{3} + K)$

خطوة 4.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

خطوة 4.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

خطوة 4.2.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 4 x^{2} + 3 K$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + 3 K}$

خطوة 5

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + K}$