حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- (x + 6 y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

خطوة 2.5

بما أن $6 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$1 = - 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$\frac{- 1 - 1}{y}$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $- (x + 6 y^{2})$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $- x - 6 y^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - (6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $- (x + 6 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (x + 6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{1}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{y}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x}{y} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.1

أضف $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.3

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.4

أضف $0$ و $6 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.1.5.2

اقسِم $6$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

خطوة 12.1.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = - 6$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 6$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 6 d y$

خطوة 13.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = - 6 y + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$