حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\frac{1}{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$