حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = a x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int a x + b d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $a x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

خطوة 1.2.2

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $a$ خارج التكامل.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

خطوة 1.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

خطوة 1.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

خطوة 1.2.5.2

بسّط.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

خطوة 1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

خطوة 1.4.2

اجمع $\frac{a}{2}$ و $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ في $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

تكامل $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

خطوة 6.2

أضف $0$ و $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ على $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ على $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

لكتابة $b x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.1.2

اجمع $b x$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

خطوة 7.3.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.4.1

أخرِج العامل $x$ من $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4.1.2

أخرِج العامل $x$ من $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

خطوة 7.3.1.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$