حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

خطوة 2.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.3.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $4$ عن $y$ في $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2

بسّط $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.5.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

خطوة 4.2.7

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

خطوة 4.2.8

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

خطوة 4.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

خطوة 4.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

خطوة 4.2.10.2

أضف $- 2$ و $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{7}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

خطوة 4.3.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $7$ من $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{5}{3}$ عن $K$ في $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{5}{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$