حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{2} + 5)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{2} + 5))$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{2} + 5))$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 5$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} + 5) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} + 5 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int 5 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 5 d x$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C_{4}$

خطوة 2.3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$ بالصيغة $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$