حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $6$ عن $y$ في $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

خطوة 4.2

بسّط $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $7$ على $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

خطوة 4.2.1.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

خطوة 4.2.1.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $4$ في $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 3 - 7$ و $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $7$ من $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 6 + 10$

خطوة 4.3.2

أضف $6$ و $10$ .

$C = 16$

خطوة 5

عوّض بـ $16$ عن $C$ في $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $16$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $4 \ln (| x |)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

خطوة 5.2.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{4}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$