حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$x d x = 9 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int x d x = \int 9 d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (9 t + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.2

اضرب $9$ في $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $2$ من $18 t + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

خطوة 4

بما أن $x$ يساوي قيمة موجبة في الشرط الابتدائي $(0, 9)$ ، انظر فقط $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ لإيجاد $K$ . وعوّض بـ $0$ عن $t$ وبـ $9$ عن $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

خطوة 5.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

خطوة 5.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ في صورة ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

اضرب $9$ في $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2.1.3

أضف $0$ و $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

خطوة 5.3.2.1.4

بسّط.

$2 K = 9^{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$2 K = 81$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $2 K = 81$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $2 K = 81$ على $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $K$ على $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

خطوة 6

عوّض بـ $\frac{81}{2}$ عن $K$ في $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $9$ من $9 t + \frac{81}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $9$ من $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $9$ من $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

خطوة 6.4

لكتابة $t$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

خطوة 6.5

اجمع $t$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

خطوة 6.7

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

خطوة 6.8

اجمع $18$ و $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

خطوة 6.9

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

اختزِل العبارة $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1.1

أخرِج العامل $2$ من $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

خطوة 6.9.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

خطوة 6.9.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

خطوة 6.9.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

خطوة 6.9.2

اقسِم $9 (2 t + 9)$ على $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

خطوة 6.10

أعِد كتابة $9 (2 t + 9)$ بالصيغة $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

خطوة 6.10.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

خطوة 6.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

خطوة 6.12

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$