حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d s}{d t} = - 7 t + \cos (t)$ , $s (0) = - 5$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d s = (- 7 t + \cos (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d s = \int - 7 t + \cos (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$s + C_{1} = \int - 7 t + \cos (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$s + C_{1} = \int - 7 t d t + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 7$ خارج التكامل.

$s + C_{1} = - 7 \int t d t + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

خطوة 2.3.4

تكامل $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 7 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

$s + C_{1} = \frac{- 7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$s + C_{1} = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$s + C_{1} = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $- 5$ عن $s$ في $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$- 5 = - \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$ .

$- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{7}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = - 5$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $- \frac{7}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{7}{2}) + \sin (0) + K = - 5$

خطوة 4.2.1.1.2.2

اضرب $0$ في $\frac{7}{2}$ .

$0 + \sin (0) + K = - 5$

خطوة 4.2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + 0 + K = - 5$

خطوة 4.2.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = - 5$

خطوة 4.2.1.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = - 5$

خطوة 5

عوّض بـ $- 5$ عن $K$ في $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 5$ .

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) - 5$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $t^{2}$ و $\frac{7}{2}$ .

$s = - \frac{t^{2} \cdot 7}{2} + \sin (t) - 5$

خطوة 5.2.2

انقُل $7$ إلى يسار $t^{2}$ .

$s = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) - 5$