حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $arcsec (| t |)$

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $2$ عن $t$ وبـ $0$ عن $v$ في $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (2)$ هي $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

خطوة 4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$π + K = 0$

خطوة 4.3

اطرح $π$ من كلا المتعادلين.

$K = - π$

خطوة 5

عوّض بـ $- π$ عن $K$ في $v = 3 arcsec (| t |) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- π$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$