حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $9 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{8}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{8}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{8}{9}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{8}{27}$ و $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

اضرب $2 \frac{8 t^{3}}{27}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $2$ و $\frac{8 t^{3}}{27}$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اضرب $8$ في $2$ .

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $\frac{16 t^{3}}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

خطوة 3.4.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

خطوة 3.4.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $K$ و $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

خطوة 3.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

خطوة 3.4.4

انقُل $27$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

خطوة 3.4.5

اجمع $2$ و $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

خطوة 3.4.6

أعِد كتابة $\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ بالصيغة ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $2 (8 t^{3} + 27 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

خطوة 3.4.6.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

خطوة 3.4.6.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

خطوة 3.4.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

خطوة 3.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.9

اجمع.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.10

اضرب $\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ في $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.11

اضرب $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.4.12

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.4.12.2

انقُل $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

خطوة 3.4.12.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

خطوة 3.4.12.4

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

خطوة 3.4.12.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.12.6

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.4.12.7

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.12.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.12.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.12.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.12.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

خطوة 3.4.12.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.4.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.13.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.4.13.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

خطوة 3.4.14

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$