حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{2} y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3} y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $12 y^{3} x^{2}$ من $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $2 x$ من $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $2 x$ من $- 6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x y$ من $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $x y$ من $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x y$ من $2 x y$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x y$ من $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 3 y^{3} x - 2$ و $3 x y^{3} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y^{3} x$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.5.4

أعِد كتابة $- (3 y^{3} x + 2)$ بالصيغة $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

خطوة 4.3.5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

خطوة 4.3.5.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

خطوة 4.3.5.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

خطوة 4.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

خطوة 4.3.7

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

خطوة 5.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

خطوة 5.4

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

خطوة 5.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

خطوة 5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط $- 2 \ln (| y |)$ بنقل $- 2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

خطوة 5.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

خطوة 5.6.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{- 2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

خطوة 5.6.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{y^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.2

اضرب $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3

أخرِج العامل $x y$ من $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $x y$ من $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3.2

أخرِج العامل $x y$ من $2 x y$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.3.3

أخرِج العامل $x y$ من $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4

احذِف العامل المشترك لـ $y$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $y$ من $x y (3 x y^{3} + 2)$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ في $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 6.7.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $\frac{1}{y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

خطوة 8.2

وسّع $x (3 x y^{3} + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

خطوة 8.2.2

انقُل الأقواس.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

خطوة 8.2.3

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

خطوة 8.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $3$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

خطوة 8.2.5

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

خطوة 8.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

خطوة 8.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

خطوة 8.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

خطوة 8.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

خطوة 8.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

خطوة 8.4

بما أن $3 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3 y^{3}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

خطوة 8.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

خطوة 8.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

خطوة 8.7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

خطوة 8.8

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = \frac{1}{y}$ و $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} x^{3} + x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.3

بما أن $x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $y^{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.5

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.6

أعِد كتابة $\frac{1}{y}$ بالصيغة $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.8

انقُل $3$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.9

أضف $3 x^{3} y^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.10

اجمع $3$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.11

اجمع $x^{3}$ و $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.12

اجمع $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ و $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.13

انقُل $3$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.14.1

أخرِج العامل $y$ من $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.14.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14.2.2

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.3.14.2.5

اقسِم $3 x^{3} y$ على $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.1

اجمع $y^{3}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.2

اجمع $x^{3}$ و $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.3.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $x^{3} y^{3}$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.3.3.2.1

اضرب في $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.3.2.4

اقسِم $x^{3} y$ على $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.4

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.3.5

اطرح $x^{3} y$ من $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 11.5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.3

اضرب $- x^{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.3.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.4.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.3.4.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.4.1

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.4.2

أضف $- 2 x^{3} y^{3}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $y^{3}$ و $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.5.1

أخرِج العامل $y^{2}$ من $- 2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

خطوة 12.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

خطوة 12.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

خطوة 12.1.5.2.4

اقسِم $- 2 x^{3} y$ على $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

خطوة 12.1.6

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.6.1

اطرح $2 x^{3} y$ من $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

خطوة 12.1.6.2

أضف $\frac{d g}{d y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $0$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

خطوة 13.3

تكامل $0$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$g (y) = 0 + C$

خطوة 13.4

أضف $0$ و $C$ .

$g (y) = C$

خطوة 14

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $\frac{1}{y}$ في $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

خطوة 15.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $y^{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

خطوة 15.2.2

اضرب في $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

خطوة 15.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$