حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $15 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $15 x^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

خطوة 1.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $10 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 4 y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

خطوة 2.5

بما أن $- 5 y^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5 y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

خطوة 5.2

بما أن $15 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $15 y^{2}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $5 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y^{2} x^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.3.3

اضرب $2$ في $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{4} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.4.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 8.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $10 x^{3} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

خطوة 9.1.2

أضف $4 y^{3} x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

خطوة 9.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اطرح $10 x^{3} y$ من $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

خطوة 9.1.3.2

أضف $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

خطوة 9.1.3.3

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $- 4 x y^{3}$ و $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

خطوة 9.1.3.4

أضف $- 4 y^{3} x$ و $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

خطوة 9.1.3.5

أضف $- 5 y^{4}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- 5 y^{4}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

خطوة 10.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 5$ خارج التكامل.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ بالصيغة $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$