حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

خطوة 1.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

خطوة 1.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x e^{- y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

خطوة 2.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- e^{- y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{- y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

خطوة 2.4

اطرح $e^{- y}$ من $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $- e^{- y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $- e^{- y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{- y} = - e^{- y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = e^{- y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{- y} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{- y} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- y}$ بالصيغة $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أضف $x e^{- y}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أضف $- x e^{- y}$ و $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $1$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

خطوة 10.3

طبّق قاعدة الثابت.

$g (y) = y + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$