حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y t^{2} - 1.1 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $1.1$ بالصيغة ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

خطوة 1.1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = t$ و $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

خطوة 1.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

خطوة 1.3.2

وسّع $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

خطوة 1.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

خطوة 1.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

خطوة 1.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $t \cdot - 1.04880884$ و $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

خطوة 1.3.3.2

أضف $- 1.04880884 t$ و $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

خطوة 1.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $0$ في $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $1.04880884$ في $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

خطوة 1.3.5

أضف $t^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ بالصيغة $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$