حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.6

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $3$ عن $y$ في $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2

بسّط $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اقسِم $7$ على $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

خطوة 4.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

خطوة 4.2.1.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $5$ في $0$ .

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

خطوة 4.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $- 1 - 7$ و $0$ .

$- 1 - 7 + C = 3$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $7$ من $- 1$ .

$- 8 + C = 3$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 3 + 8$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $8$ .

$C = 11$

خطوة 5

عوّض بـ $11$ عن $C$ في $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $11$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

خطوة 5.2

بسّط $5 \ln (| x |)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$