حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d f}{d x} = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 2$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d f = 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d f = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f + C_{1} = \int 5 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 5 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 5 x^{2} + 4$ . إذن $d u = 10 x d x$ ، لذا $\frac{1}{10} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 5 x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.2.1.3.3

اضرب $2$ في $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 x + 0$

خطوة 2.3.2.1.4.2

أضف $10 x$ و $0$ .

$10 x$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f + C_{1} = 5 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 5 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{10}$ خارج التكامل.

$f + C_{1} = 5 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

اجمع $\frac{1}{10}$ و $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{10} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$f + C_{1} = \frac{5 (1)}{10} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f + C_{1} = \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f + C_{1} = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $2$ عن $f$ في $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

خطوة 4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 2$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 2$

خطوة 4.2.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 2$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 2$

خطوة 4.2.6

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + K = 2$

خطوة 4.2.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$\frac{8}{3} + K = 2$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{8}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = 2 - \frac{8}{3}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

خطوة 4.3.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{2 \cdot 3 - 8}{3}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$K = \frac{6 - 8}{3}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $8$ من $6$ .

$K = \frac{- 2}{3}$

خطوة 4.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$K = - \frac{2}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $- \frac{2}{3}$ عن $K$ في $f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- \frac{2}{3}$ .

$f = \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f = \frac{{(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 2}{3}$