حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x e^{3 y} + e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x e^{3 y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.3.7

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

خطوة 1.4

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $6 x e^{3 y}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب عوامل $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

خطوة 1.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 e^{3 y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2} e^{3 y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 2.4

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $6 e^{3 y} x$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 x e^{3 y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $6 x e^{3 y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

خطوة 5.2

بما أن $2 e^{3 y}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 e^{3 y}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

خطوة 5.4

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

خطوة 5.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{3 y} x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.5

اضرب $3$ في $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.3.7

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.4

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $e^{x}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

أضف $3 x^{2} e^{3 y}$ و $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 8.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $3 x^{2} e^{3 y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $3 x^{2} e^{3 y}$ من $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $- y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $- y^{2}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

خطوة 10.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $y^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

خطوة 12.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$