حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12 y}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{12 y}$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $12 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x^{2}}{y \cdot 12}$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{12}$

خطوة 1.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 (x^{2})}{12}$

خطوة 1.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

خطوة 1.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4}$

خطوة 1.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{x^{2}}{4} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{4} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{12} x^{3} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{12}$ و $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{12} + K)$

خطوة 3.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{12} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (6)} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 6} + 2 K$

خطوة 3.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{6} + 2 K$

خطوة 3.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$

خطوة 3.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $2 K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + 2 K \cdot \frac{6}{6}}$

خطوة 3.4.2

اجمع $2 K$ و $\frac{6}{6}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{6} + \frac{2 K \cdot 6}{6}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 2 K \cdot 6}{6}}$

خطوة 3.4.4

اضرب $6$ في $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$

خطوة 3.4.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{x^{3} + 12 K}{6}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$

خطوة 3.4.6

اضرب $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

خطوة 3.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{x^{3} + 12 K}}{\sqrt{6}}$ في $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

خطوة 3.4.7.2

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

خطوة 3.4.7.3

ارفع $\sqrt{6}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

خطوة 3.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

خطوة 3.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{6}}^{2}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6^{1}}$

خطوة 3.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 12 K} \sqrt{6}}{6}$

خطوة 3.4.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$

خطوة 3.4.9

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 12 K) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 12 K)}}{6}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{6}$