حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

خطوة 1.1.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

خطوة 1.1.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

خطوة 1.1.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

خطوة 1.1.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

خطوة 1.2

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

خطوة 1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.2

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.2.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

خطوة 1.4.3

اضرب $x^{2} - 1$ في $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

خطوة 1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

خطوة 1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

خطوة 1.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أخرِج العامل $y$ من $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

خطوة 1.4.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

خطوة 1.4.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

خطوة 1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

خطوة 2.3.4

بسّط.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $3$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2

بسّط $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.2.2

اطرح $3$ من $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

خطوة 4.3

بسّط $1 + \ln (| 1 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

خطوة 4.3.1.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$6 + C = 1$

خطوة 4.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$C = 1 - 6$

خطوة 4.4.2

اطرح $6$ من $1$ .

$C = - 5$

خطوة 5

عوّض بـ $- 5$ عن $C$ في $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $- 5$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$