حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $y^{4}$ من $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

انقُل $y^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.1.2

اضرب الأُسس في ${(y^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{- 4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{y^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.2.3.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$