حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احذِف العامل المشترك لـ $e^{2 y}$ و $e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x}$ من $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب في $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.1.2.4

اقسِم $e^{2 y - 3 x}$ على $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $e^{3 x + 3 y}$ في $e^{2 y - 3 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $3 x$ من $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.2.2.2

أضف $3 y + 2 y$ و $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.2.3

أضف $3 y$ و $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

خطوة 3.4

احذِف العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ و $e^{3 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $e^{3 y}$ من $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

خطوة 3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب في $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

خطوة 3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

خطوة 3.4.2.4

اقسِم $e^{2 x - 3 y}$ على $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

خطوة 3.5

اضرب $e^{3 x + 3 y}$ في $e^{2 x - 3 y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

خطوة 3.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

خطوة 3.5.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أضف $- 3 y$ و $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

خطوة 3.5.3.2

أضف $2 x + 3 x$ و $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

خطوة 3.5.4

أضف $2 x$ و $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 5 y$ . إذن $d u_{1} = 5 d y$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 5 y$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

خطوة 4.2.1.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 4.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 4.2.1.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2.2

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 5 x$ . إذن $d u_{2} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 4.3.2.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $e^{5 x}$ و $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

خطوة 5.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{5 x}}{5}$ إلى بسط الكسر.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

خطوة 5.2.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

خطوة 5.2.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

خطوة 5.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 5.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

وسّع $\ln (e^{5 y})$ بنقل $5 y$ خارج اللوغاريتم.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 5.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 5.4.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ على $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$