حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

خطوة 2.3.5

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $9$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $15$ عن $y$ في $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

خطوة 4.2.1.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

خطوة 4.2.1.1.4

اضرب $3$ في $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

خطوة 4.2.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + K = 15$

خطوة 4.2.1.2.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = 15$

خطوة 5

عوّض بـ $15$ عن $K$ في $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $15$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$